Interakcje i dlaczego wszyscy się mylimy?

Skąd bierze się interpretacja interakcji? Załóżmy, że mamy pacjentów w próbie własnej i model liniowy (prosty lub mieszany).

Dla modelu liniowego mamy równanie postaci:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2,

gdzie A0 to punkt przecięcia z osią, a A1 i A2 to główne efekty odpowiednio X1 i X2.

Powiedzmy, że X1 jest czynnikiem: Grupa 1 kontra Grupa 2. Następnie przez oprogramowanie statystyczne jest kodowane jako Grupa 1 X1 = 0, a dla Grupy 2 X2 = 1.

Następnie załóżmy, że X2 jest ciągłą zmienną towarzyszącą, taką jak wiek.

Co dokładnie oznacza A1, A2 i A3?

Załóżmy, że wszystkie oszacowania A1, A2 i A3 są istotne. Oznacza to, że znacznie różnią się od zera i możemy je zinterpretować. Innymi słowy, gdybyśmy powtórzyli nasz eksperyment z tym samym modelem i inną próbą tej samej wielkości z populacji, A1, A2 i A3 różniłyby się od szacunków, które mamy teraz, ale nadal będą różne od zera. To właśnie oznacza znaczenie.

Wróćmy więc do znaczenia A1, A2 i A3.

Zobacz, jak wygląda równanie:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

Gdybyśmy nie mieli terminu interakcji, interpretacja A1 i A2 byłaby łatwa. Sprawdźmy to.

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2.

X1 jest kodowany jako 0 dla Grupy i 1 dla Grupy 2, ponieważ Grupa 1 jest grupą odniesienia. Zawsze możesz zmienić grupę odniesienia, ale załóż, że grupa 1 jest grupą odniesienia. Zauważ, że gdy zapytasz program statystyczny w inny sposób, wybierze zmienną znakową jako grupę odniesienia pierwszą w kolejności alfabetycznej. Zatem dla kodowania „A”, „B” będzie to grupa „A”.

Powiedzmy, że mamy dwóch pacjentów. Pacjent 1 pochodzi z grupy 1, a jego / jej wiek to Wiek 1. Jaka jest zatem jego / jej odpowiedź Y?

Y1 = A0 + A1 * 0 + A2 * Wiek1

Powiedzmy, że pacjent 2 pochodzi z grupy 2 i ma wiek 2 lat.

Jego / jej odpowiedź brzmi zatem:

Y2 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek2.

Jaka jest różnica między Y2 i Y1?

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek2- (A0 + A1 * 0 + A2 * Wiek1) = A1 + A2 (Wiek2-Wiek1).

A co, jeśli oboje są w tym samym wieku? Następnie:

Y2-Y1 = A1.

A więc stąd pochodzi nasza interpretacja A1! A1 to zmiana w odpowiedzi w Y między dwoma różnymi pacjentami z grupy 1 i 2 w tym samym wieku (gdy nie ma terminów interakcji!)

Innymi słowy, kiedy zmieniamy grupę z 1 na 2, Y zmienia się o A1. Pogłębiając się na znaku A1 rośnie lub maleje.

A co z A2? X2 jest zmienną ciągłą. Dlatego nie mamy teraz efektu „zmiana grup”. Mamy efekt „wzrostu o 1 jednostkę w X2”.

Powiedzmy, że mamy dwóch takich samych pacjentów z grupy 1 i Age = Age1 oraz pacjenta 2 z grupy 2 i Age2 jak poprzednio, ale teraz dodatkowo załóżmy, że Age2 = Age + 1. Więc różnica wieku między tymi dwoma wynosi 1 rok.

Jaka jest różnica między Y2 i Y1 dla tych pacjentów teraz?

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek2- (A0 + A1 * 0 + A2 * Wiek1) = A1 + A2 (Wiek2-Wiek1) = A1 + A2 (Wiek1 + 1-Wiek1) = A1 + A2.

A jeśli są z tej samej grupy? Następnie, jeśli oboje są z grupy 1:

Y2-Y1 = A2

A jeśli oboje są z grupy 2:

Y2-Y2 = A1 (1-1) + A2 = A2

A to jest interpretacja A2! A2 to zmiana odpowiedzi w Y między dwoma różnymi pacjentami z tej samej grupy, gdy różnica między ich wiekiem wynosi 1 rok (gdy nie ma warunków interakcji!). Innymi słowy, możemy powiedzieć, że A2 jest zmianą odpowiedzi Y, gdy X2 wzrasta o 1 jednostkę, a X1 jest stałe.

Ok, więc teraz wiemy, jak interpretować współczynniki w modelu bez warunków interakcji. Dodajmy teraz termin interakcji i zobaczmy, jakie zmiany.

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

Spróbujmy zinterpretować współczynnik A1 tak, jak robiliśmy to wcześniej, w modelu bez składnika interakcji.

Obliczmy różnicę między dwiema osobami z grupy 1 i grupy 2 w tym samym wieku:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek + A3 * Wiek * 1 - (A0 + A1 * 0 + A2 * Wiek + A3 * 0 * Wiek) = A1 + A3 Wiek

Ok… więc to nie jest dokładnie A1 jak poprzednio. Jak zrobić to A1? Musimy założyć, że wiek wynosi zero, nawet jeśli jest to nierealne, ponieważ nie mamy ludzi w wieku zero.

Dlatego interpretacja A1 jest następująca:

A1 to zmiana w Y, gdy porównamy dwie osoby z grupy 2 i grupy 1 w tym samym wieku równym 0. Aby uniknąć niepożądanej interpretacji A1 w tym modelu, możemy użyć zamiast zmiennej Age X2 X2 '= X2-mean (X2), która jest nazywana centrowanie na myśli. W takim przypadku będziesz miał następującą interpretację A1:

A1 to zmiana w Y, gdy porównamy dwie osoby z grupy 2 i grupy 1 w tym samym wieku = średni wiek.

Analogicznie dokonajmy interpretacji A2.

Obliczmy różnicę między dwiema osobami z tej samej grupy a wiekiem różnym o 1 rok.

Jeśli są z obu Grupy 2:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek1 + A3 * Wiek1 * 1 - (A0 + A1 * 1 + A2 * (Wiek1 + 1) + A3 * 1 * (Wiek1 + 1)) = A2 + A3

A jeśli oboje są z Grupy 1:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 0 + A2 * Wiek1 + A3 * Wiek1 * 0 - (A0 + A1 * 0 + A2 * (Wiek1 + 1) + A3 * 0 * (Wiek1 + 1)) = A2.

Tak więc ostatnia daje nam interpretację A2! Jest to zmiana w Y, gdy wiek wzrasta o 1 jednostkę, a grupa jest nie tylko ustalona, ale musi być grupą odniesienia 1!

I wreszcie, jaka jest interpretacja A3?

Cóż, już to mamy:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Wiek1 + A3 * Wiek1 * 1 - (A0 + A1 * 1 + A2 * (Wiek1 + 1) + A3 * 1 * (Wiek1 + 1)) = A2 + A3

Jest to modyfikacja efektu A2 oszacowana dla grupy 1 wyliczona dla pacjentów z grupy 2. Zatem całkowity efekt podwyższenia wieku o 1 dla grupy 2 jest równy A2 + A3 i tak powinniśmy interpretować efekt A3. Efekt zwiększenia X2 o 1 dla grupy 2 jest większy o A3 w porównaniu do tego samego efektu dla grupy 1.

Jeszcze jedno dodatkowe słowo. A co by było, gdyby w równaniu nie było zmiennych ciągłych:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

 Jak to zmieniłoby naszą poprzednią interpretację?

Więc X2 jest teraz kolejnym czynnikiem. Powiedzmy płeć. Ponieważ jest zakodowany jako kobiety i mężczyźni, chyba że zapytasz inaczej, zostanie zakodowany jako kobieta = 0 (odniesienie) i mężczyzna = 1.

Zatem interpretacja A1 jest następująca:

A1 to zmiana w Y, gdy porównamy dwie osoby z grupy 2 i grupy 1 o tej samej płci = kobieta. Jest to więc efekt grupy dla kobiet.

A dla A2:

Jest to zmiana w Y, gdy porównujemy mężczyzn i kobiety z tej samej grupy 1.

A dla A3:

Jest to modyfikacja efektu A2 oszacowanego dla grupy 1 obliczonej dla pacjentów z grupy 2. Zatem całkowity efekt porównania mężczyzn i kobiet dla grupy 2 jest równy A2 + A3. Efekt płci dla grupy 2 jest większy o A3 w porównaniu z tym samym efektem dla grupy 1.

Praca domowa:

Napisz interpretację A1 i A2 dla modelu bez interakcji:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2,

 kiedy X1 to grupa, a X2 to rodzaj.