Interaktionen und warum verstehen wir sie alle falsch?

Woher kommt die Interpretation der Interaktion? Nehmen wir an, wir haben Patienten in unserer Stichprobe und ein lineares Modell (einfach oder gemischt).

Für das lineare Modell haben wir eine Gleichung der Form:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2,

wobei A0 der Achsenabschnitt ist und A1 und A2 die Haupteffekte von X1 bzw. X2 sind.

Angenommen, X1 ist der Faktor: Gruppe 1 gegenüber Gruppe 2. Dann wird es von der Statistiksoftware als Gruppe 1 X1 = 0 und für Gruppe 2 X2 = 1 codiert.

Nehmen wir dann an, dass X2 eine kontinuierliche Kovariate wie das Alter ist.

Was genau bedeutet A1, A2 und A3?

Angenommen, alle Schätzungen A1, A2 und A3 sind signifikant. Das bedeutet, dass sie sich erheblich von Null unterscheiden und wir sie interpretieren können. Mit anderen Worten, wenn wir unser Experiment mit demselben Modell und der unterschiedlichen Stichprobe derselben Größe aus der Population wiederholen würden, würden sich A1, A2 und A3 von den Schätzungen unterscheiden, die wir jetzt haben, aber sie werden sich immer noch von Null unterscheiden. Das ist es, was die Bedeutung bedeutet.

Kommen wir also zur Bedeutung von A1, A2 und A3 zurück.

Schauen Sie, wie die Gleichung aussieht:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

Wenn wir den Interaktionsterm nicht hätten, wäre die Interpretation von A1 und A2 einfach. Lass es uns herausfinden.

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2.

X1 wird als 0 für Gruppe und 1 für Gruppe 2 codiert, da Gruppe 1 eine Referenzgruppe ist. Sie können die Referenzgruppe jederzeit ändern, aber davon ausgehen, dass Gruppe 1 die Referenzgruppe ist. Beachten Sie, dass, sobald Sie das Statistikprogramm anderweitig fragen, es für die Zeichenvariable als Referenzgruppe die erste in alphabetischer Reihenfolge wählt. Für die Codierung "A", "B" ist dies also die Gruppe "A".

Nehmen wir jetzt an, wir haben zwei Patienten. Patient 1 stammt aus Gruppe 1 und sein Alter ist Alter1. Was ist seine / ihre Antwort Y dann?

Y1 = A0 + A1 * 0 + A2 * Alter1

Angenommen, Patient 2 stammt aus Gruppe 2 und sein Alter ist Alter 2.

Seine / ihre Antwort lautet dann:

Y2 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter2.

Was ist der Unterschied zwischen Y2 und Y1?

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter2- (A0 + A1 * 0 + A2 * Alter1) = A1 + A2 (Alter2-Alter1).

Und wenn beide gleich alt sind? Dann:

Y2-Y1 = A1.

Hier kommt also unsere Interpretation von A1 her! A1 ist die Änderung der Reaktion in Y zwischen zwei verschiedenen Patienten aus Gruppe 1 und 2, die das gleiche Alter haben (wenn es keine Interaktionsterme gibt!).

Mit anderen Worten, wenn wir die Gruppe von 1 auf 2 ändern, ändert sich das Y um A1. Wenn Sie das Vorzeichen von A1 vertiefen, nimmt es zu oder ab.

Was ist mit A2? X2 ist eine stetige Variable. Daher haben wir jetzt nicht den Effekt "Die Gruppen ändern sich". Wir haben den Effekt „Erhöhung um 1 Einheit in X2“.

Nehmen wir an, wir haben zwei gleiche Patienten aus Gruppe 1 und Alter = Alter1 und Patient 2 aus Gruppe 2 und Alter2 wie zuvor, aber jetzt nehmen wir zusätzlich an, dass Alter2 = Alter + 1. Der Altersunterschied zwischen diesen beiden beträgt also 1 Jahr.

Was ist der Unterschied zwischen Y2 und Y1 für diese Patienten jetzt?

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter2- (A0 + A1 * 0 + A2 * Alter1) = A1 + A2 (Alter2-Alter1) = A1 + A2 (Alter1 + 1-Alter1) = A1 + A2.

Und was ist, wenn sie aus derselben Gruppe stammen? Wenn beide aus Gruppe 1 stammen:

Y2-Y1 = A2

Und wenn beide aus Gruppe 2 stammen:

Y2-Y2 = A1 (1-1) + A2 = A2

Und das ist die Interpretation von A2! A2 ist die Änderung der Reaktion in Y zwischen zwei verschiedenen Patienten derselben Gruppe, wenn der Unterschied zwischen ihrem Alter 1 Jahr beträgt (wenn es keine Interaktionsterme gibt!). Mit anderen Worten können wir sagen, dass A2 die Änderung der Antwort Y ist, wenn X2 um 1 Einheit zunimmt und X1 festgehalten wird.

Ok, jetzt wissen wir, wie man die Koeffizienten in einem Modell ohne Interaktionsterme interpretiert. Fügen wir jetzt den Interaktionsbegriff hinzu und sehen, was sich ändert.

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

Versuchen wir, den A1-Koeffizienten wie zuvor im Modell ohne Interaktionsterm zu interpretieren.

Berechnen wir den Unterschied zwischen den beiden Personen aus Gruppe 1 und Gruppe 2 und demselben Alter:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter + A3 * Alter * 1 - (A0 + A1 * 0 + A2 * Alter + A3 * 0 * Alter) = A1 + A3Age

Ok ... das ist also nicht genau A1 wie zuvor. Wie macht man es A1? Wir müssen davon ausgehen, dass das Alter Null ist, auch wenn dies unrealistisch ist, da wir keine Menschen mit dem Alter Null haben.

Daher ist die Interpretation von A1 wie folgt:

A1 ist die Änderung in Y, wenn wir zwei Personen aus Gruppe 2 und Gruppe 1 mit demselben Alter von 0 vergleichen. Um die unerwünschte Interpretation von A1 in diesem Modell zu vermeiden, können wir anstelle der Alters-X2-Variablen X2 '= X2-Mittelwert (X2), die aufgerufen wird, verwenden mittlere Zentrierung. In diesem Fall haben Sie die folgende Interpretation von A1:

A1 ist die Änderung in Y, wenn wir zwei Personen aus Gruppe 2 und Gruppe 1 mit demselben Alter = Durchschnittsalter vergleichen.

Lassen Sie uns analog die Interpretation von A2 machen.

Berechnen wir den Unterschied zwischen den beiden Personen derselben Gruppe und dem um 1 Jahr unterschiedlichen Alter.

Wenn sie aus beiden Gruppen 2 stammen:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter1 + A3 * Alter1 * 1 - (A0 + A1 * 1 + A2 * (Alter1 + 1) + A3 * 1 * (Alter1 + 1)) = A2 + A3

Und wenn beide aus Gruppe 1 stammen:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 0 + A2 * Alter1 + A3 * Alter1 * 0 - (A0 + A1 * 0 + A2 * (Alter1 + 1) + A3 * 0 * (Alter1 + 1)) = A2.

Das letzte gibt uns also die Interpretation von A2! Dies ist die Änderung in Y, wenn das Alter um 1 Einheit zunimmt und die Gruppe nicht nur festgelegt ist, sondern auch die Referenzgruppe 1 sein muss!

Und zu guter Letzt, wie ist die Interpretation von A3?

Nun, wir haben es schon vorher:

Y2-Y1 = A0 + A1 * 1 + A2 * Alter1 + A3 * Alter1 * 1 - (A0 + A1 * 1 + A2 * (Alter1 + 1) + A3 * 1 * (Alter1 + 1)) = A2 + A3

Dies ist die Modifikation des für Gruppe 1 geschätzten A2-Effekts, berechnet für Patienten aus Gruppe 2. Der Gesamteffekt der Erhöhung des Alters um 1 für Gruppe 2 ist also gleich A2 + A3, und so sollten wir den Effekt von A3 interpretieren. Der Effekt der Erhöhung von X2 um 1 für Gruppe 2 ist um A3 größer als der gleiche Effekt für Gruppe 1.

Ein letztes zusätzliches Wort. Was wäre, wenn die Gleichung keine stetigen Variablen enthalten würde:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2 + A3 * X1 * X2

 Wie würde das unsere bisherige Interpretation ändern?

X2 ist also jetzt ein weiterer Faktor. Sagen wir Geschlecht. Da es als weiblich und männlich codiert ist, wird es, sofern Sie nicht anders fragen, als weiblich = 0 (Referenz) und männlich = 1 codiert.

Dann lautet die Interpretation von A1:

A1 ist die Änderung in Y, wenn wir zwei Personen aus Gruppe 2 und Gruppe 1 mit demselben Geschlecht = weiblich vergleichen. Dies ist also der Effekt von Group for Females.

Und für A2:

Dies ist die Änderung in Y, wenn wir Männer mit Frauen aus derselben Gruppe 1 vergleichen.

Und für A3:

Dies ist die Modifikation des für Gruppe 1 geschätzten A2-Effekts, berechnet für Patienten aus Gruppe 2. Der Gesamteffekt des Vergleichs von Männern und Frauen für Gruppe 2 ist also gleich A2 + A3. Der Effekt von Geschlecht für Gruppe 2 ist um A3 größer als der gleiche Effekt von Geschlecht für Gruppe 1.

Hausaufgaben:

Schreiben Sie die Interpretation von A1 und A2 für das Modell ohne Interaktion:

Y = A0 + A1 * X1 + A2 * X2,

 wenn X1 eine Gruppe und X2 ein Geschlecht ist.